В 2013 году  Патрик Бартошак  на драфте НХЛ был выбран командой «Лос-Анджелес Кингз».  К этому времени успел стать чемпионом Чехии среди игроков до 20 лет, сыграть на молодежном чемпионате мира и улететь за океан для выступления в Западной хоккейной лиге. С 2014 по 2016 год выступал в Американской хоккейной лиге за команду «Манчестер Монаркс», в её составе стал обладателем Кубка Колдера в 2015 году.

В 2016 году вернулся в Чехию, дебютировал на профессиональном уровне за родной «Витковице», в последующем в составе которого провел три сезона. За это время дважды становился лучшим голкипером Экстралиги по проценту отраженных бросков.     

В сезоне 2020/21 играл  в чемпионате Финляндии за команду «Пеликанс», заняв 6 строчку в списке самых надежных голкиперов СМ-Лиги.

Регулярно привлекался в состав сборных Чехии разного уровня, был третьим вратарём национальной команды на Олимпиаде-2018 и «первым номером» на Чемпионате мира 2019 года.