Воспитанник ярославской школы хоккея. За родную команду выступал на юниорском и молодежном уровне, в том числе играл за «Локо» в чемпионский сезон МХЛ.

В 20 лет дебютировал в ВХЛ в составе «Ростова», с которым вышел в плей-офф. А год спустя в сезоне 21/22 стал основным защитников «кондоров», в среднем проводя на льду по 17 минут.  

В прошлом сезоне Минаев отыграл 45 матчей, набрал 11 очков (7+4), показатель полезности – «+18». В декабре был признан лучшим защитником недели в ВХЛ.

Достижения:

Чемпион МХЛ (2019);

Обладатель Кубка Мира среди молодёжных команд (2019);

Серебряный призёр МХЛ (2020);

Бронзовый призёр НМХЛ (2018, 2019).