Андрей Алексеев — воспитанник хоккейной школы «Динамо» им. А. И. Чернышева.

В 2012 году дебютировал в команде «Сагино Спирит» Юниорской лиги Онтарио. Провёл два сезона в Канаде, после чего вернулся в систему московского «Динамо». 

С 2014 года выступал в составе команд бело-голубых в МХЛ, ВХЛ и КХЛ.

С фарм-клубом «Динамо» стал победителем Чемпионата ВХЛ в сезоне 2016/17, а в составе национальной сборной России завоевал золотые медали Универсиады – 2017. 

Следующий год стал для нападающего первым полноценным сезоном в КХЛ. Всего в КХЛ сыграл 189 матчей, забросил 23 шайбы, отдал 39 результативных передач.  

В прошлом сезоне Алексеев за бело-голубых провел 28 игр в регулярном чемпионате, отметился пятью очками (1+4), кроме этого сыграл 4 матча в плей-офф.