Алексей Соловьёв родился 8 сентября 1994 года в Санкт-Петербурге, начал заниматься хоккеем в Москве, 9 лет провёл в заокеанских лигах, а в 2020 году вернулся в Россию. 

Его первым клубом в КХЛ стал «Авангард», однако свой лучший на данный момент сезон новичок Тигров провёл в «Адмирале» в статусе капитана. 

В чемпионате КХЛ 2023/24 гг. он записал в свой актив 20 (6+14) очков в 66 матчах при среднем игровом времени 19:35. 

Затем последовало возвращение в Омск, где у игрока изменились задачи, а также игровое время. В прошлом сезоне он провёл 71 матч в составе «Авангарда» в регулярном сезоне и плей-офф, набрал 4 (2+2) очка и стал одним из лучших игроков обороны команды по количеству проведённых силовых приёмов и заблокированных бросков.