Алекс Гальченюк родился 12 февраля 1994 года в Милуоки (США). Начал заниматься хоккеем в Москве, в школе «Динамо», затем выступал за юношеские команды «Спартака», швейцарского «Люцерна» и «Чикаго Янг Американз». В составе сборной Москвы выиграл Первенство Федеральных округов в сезоне 2008/09.

С 2010 года играл за команду «Сарния Стинг» в юниорской хоккейной лиге Онтарио. По итогам сезона 2010/11 вошел в символическую сборную лучших новичков лиги. 

Дебютировал в НХЛ в январе 2013 года в составе «Монреаля». Затем выступал за «Аризону», «Питтсбург», «Миннесоту», «Оттаву», «Торонто» и «Колорадо». В общей сложности за 11 сезонов в Национальной хоккейной лиге провел 692 матча и набрал в них 371 (151+220) очко. Также выступал в АХЛ за «Торонто Марлиз» и «Колорадо Иглз». Набрал 53 (18+35) очка в 55 матчах.

В составе сборной США выиграл золотую медаль чемпионата мира среди молодежи-2013. В том же сезоне дебютировал в национальной сборной на чемпионате мира и стал бронзовым призером турнира. В 2022 году занял четвертое место на мировом первенстве. В общей сложности провел 14 матчей и набрал 7 (3+4) очков за национальную сборную США. 

В августе 2023 года подписал контракт с петербургскими армейцами. В минувшем сезоне провёл за СКА 70 игр, набрав 47 (18+29) очков при. показателе полезности +18.

17 мая 2024 года подписал однолетний контракт с "Амуром" в качестве неограниченно свободного агента.