Александр — воспитанник альметьевского «Нефтяника», однако его дебют на взрослом уровне произошел в системе санкт-петербургского СКА.

В КХЛ Дергачёв поиграл за СКА, московский «Спартак», подмосковный «Витязь» и омский «Авангард». В составе петербургских армейцев габаритный нападающий добился главных успехов в клубной карьере, став в 2017 году чемпионом России и обладателем Кубка Гагарина. Суммарно в лиге на его счету более 450 матчей.

Также в активе хоккеиста есть серебряные медали молодёжных чемпионатов мира 2015 и 2016 годов.

Предыдущие сезоны Александр провёл в нижнекамском «Нефтехимике». В регулярном чемпионате КХЛ сезона 2023/24 он обновил личный рекорд результативности, набрав 34 очка (18+16) в 66 матчах.

Никита Точицкий, генеральный менеджер ХК «Амур»: «Александр - очень квалифицированный, мастеровитый нападающий, который здорово чувствует себя в силовой борьбе и точно добавит команде мощи. Кроме того, у него есть настоящий бойцовский характер и лидерская харизма. Рассчитываем на него как на игрока, который будет приносить нам пользу не только на льду, но и в раздевалке».