На молодёжном уровне выступал в России за «Стальных Лисов», в Канаде – за «Лондон Найтс» (хоккейная лига Онтарио). Затем играл в клубах АХЛ «Сиракьюз Кранч» (2010-2012) и «Норфолк Адмиралс» (2012-2015). В сезонах 2013/14 и 2014/15 выступал за команду «Юта Гризлис» (Хоккейная лига Восточного побережья).

После этого Бобков вернулся в Россию и дебютировал в КХЛ, играя за дальневосточный «Адмирал» (2015-2018). Затем Игорь выступал в составе «Авангарда» (2018-2021), «Ак Барс» (2021-2022), «Автомобилист» (2022-2023).

В составе сборной России принимал участие в юниорском (2009) и молодёжном (2010, 2011) чемпионатах мира.

Достижения: серебряный призёр юниорского чемпионата мира (2009), обладатель Кубка Харламова (2010), чемпион мира среди молодёжи (2011), серебряный призёр чемпионата России (2019), обладатель Кубка Гагарина (2021), участник Матча Звёзд КХЛ (2017, 2019, 2020).